10.Geometry 2（curves and surface）
10.Geometry 2（curves and surface）
explicit（显式几何）
point cloud（点云）
把每个点表示成一个点（？？？）
解释成list of points比较好理解
能轻易的表示任何的几何图形
polygon mesh（多边形面）
应用的最多
把面拆成各种各样的三角形，用三角形去描述复杂的问题
object format（obj文件）
用三角形面形成的物体用obj格式文件储存（和编译出来得到的obj不是一回事！）
相当于一个储存了顶点，法线，纹理，坐标，并把他们组合起来的文本文件
图中v储存顶点坐标，vn储存法线，vt存储纹理坐标，f表示这些数据如何组合在一起
我们看到一行f有三组，一组三个数，每组决定了使用哪些vn和vt和f数据，而每行则定义一个三角形面（三个点）
curves
bezier curve（贝塞尔曲线）
用一系列控制点去表示一条曲线
如图定义起点和终点在p3上
曲线不一定要经过控制点
如何画一条贝塞尔曲线？（属于显式表示）
使用de castljau算法
如图所示b0开始，b2结束，b1表示往哪个方向弯
定义一个范围为0到1的时间t，我们只需要算出任意一个时间t在空间中的位置算出就行
我们设b0到b1为t，b1到b2也为t，b01和b11都为1/3t
连接b01和b11，再取1/3，得到b02
这个b02就是这条贝塞尔曲线在时间t的位置
将所有的t都枚举出来并连接，就能得到所求的曲线
四个点也一样，我们找一个点（例如0.5），然后一直取点连接最后得到一个点（有点类似递归）
evaluating bezier curve algebraic formula
（代数表示方法）
不难看出，我们上面一直在做两个位置的线性插值
显式的将公式表达出来（因为能用公示表达所以是显式的）
我们考虑t是靠近左边的那段距离。为什么算式是这样的？
想象t等于0时，即点在b0上，所表示的就应该是一个完全的t0，t等于1时也同样理解。
所以第三个算式一样很好理解，第四个算式就是将第一二个算式带入到第三个中，同样很好理解。
有没有发现第四个算式很像完全平方公式的展开？
だから！
给n+1个控制点（0到n），得到一个n阶的贝塞尔曲线，这个贝塞尔曲线在任意时间t都是之前给定控制点的线性组合，组合的系数为一个多项式（如图所示的伯恩斯坦多项式，用来描述二项分布）
伯恩斯坦多项式：相当于（s+t）的n次方，如果是三个点（二阶，n=2），就相当于s^2+2s*t+t^2，再把s换成1-t。
我们不需要限制这些点是否在同一平面内，同样可以进行插值
这个是伯恩斯坦多项式的图像
（个人感觉看看就好）
贝塞尔曲线有些不错的性质：
- 规定了贝塞尔曲线一定过起点和终点
- 如果是三阶（四个控制点），起点方向切线一定是3倍的（b1-b0），终点是3倍的（b3-b2）
- 对控制点做仿射变换后，得到的贝塞尔曲线相当于对原来的贝塞尔曲线做相同的仿射变换（对于投影变换就并不是如此）
- 凸包性质：贝塞尔曲线一定在控制点组成的凸包内
piecewise bezier curve（逐段定义贝塞尔曲线）
因为用很多的点定义一条贝塞尔曲线并不直观
所以发明了逐段定义方法，习惯用每四个点定义一段贝塞尔曲线
应用：ps里的钢笔工具
那我怎么保证连接处是光滑的呢？
如果前后的控制点共线且等距离（切线相同，导数连续）
在几何上，只要前后是在一块的，我们就认为是连续的，称为c0连续
如果方向相反，距离相等（一阶导数连续）
称为c1连续
在制造上c1连续可能是不够的，所以同样也有高阶导数的连续，我们称为曲率连续。
由一系列控制点控制的曲线叫样条，能满足一定的连续性
其中B样条应用较多
b表示的是basis，基函数样条，能保证曲线的局部性，能保证挪动一个控制点后，对曲线的变化控制在一个范围内。
因为b样条太复杂所以不多bb
4.28 11:52完成 今天节奏特别好